Институт математики СО РАН, Новосибирск, Россия

Пусть ,,..., - набор признаков объектов из генеральной совокупности . Предполагается, что измерение характеристик ведется в несколько этапов. Пусть на первом этапе измерены значения характеристик ,...,. Множество измеренных характеристик разбиваем на подмножества . Обозначим это разбиение = где множество представляет собой либо набор переменных , совокупность значений которых требует измерения других характеристик, либо является одноэлементным множеством, в том случае если значение характеристики содержащейся в нем не уточняется.

Пусть на следующем этапе описания измерены значения характеристик . Аналогично определяем разбиение , где либо одноэлементное множество, либо набор переменных, подлежащих уточнению. Далее продолжаем по той схеме: каждом этапе вычисляем значение некоторых переменных, а затем из этих переменных формируем множества, либо подлежащие дальнейшему уточнению, либо нет.

После проведения к этапов получаем конечное разбиение . Заметим, что множество характеристик, содержащееся в может быть подмножеством всего набора характеристик , не совпадая с ним полностью.

Для удобства дальнейших вычислений переобозначим переменные через .

Определение 1. Структурой на множестве назовем отношение такое, что классы , такие, что , и принадлежит множеству характеристик, уточняющих набор признаков из .

Определение 2. Структурным описанием объекта назовем пару .

На основе отношения определим матрицу связи между переменными .

Определение 3. - матрица размера с элементами, определенными следующим образом: ; называется матрицей связи признаков.

Матрица представляет собой матрицу направленных связей между объектами описания и однозначно представляет структуру множества признаков.

Пусть заданы структурные описания двух объектов из генеральной совокупности . Задав матрицы их структурного описания , , можем определить расстояние между структурными описаниями как число поразрядных несовпадений элементов матриц .

Заметим, что если объекты описываются не совпадающими полностью наборами переменных, то матрицы дополняются строками и столбцами, соответствующими недостающим элементам (добавляются нулевые строки и столбцы так, чтобы набор характеристик для матриц совпадал).

Рассмотрим еще один метод вычисления расстояния между структурными описаниями, используя для определения расстояния информацию о численности классов из соответствующих разбиений.

Считаем, что заданы два структурных описания , где , , , , , .

Для связи обозначим количество элементов в классе ().

Через обозначим количество элементов в наборе характеристик, уточняющем набор переменных из класса , причем переменная принадлежит множеству уточняющих характеристик. Аналогично определяются величины , для связи .

Пусть, ,, , а через обозначим мощность множества .

Множество, уточняющее набор характеристик из класса и содержащее элемент обозначим , соответственно множество, уточняющее набор характеристик из класса и содержащее элемент обозначим как .

Определим величину как мощность множества совпадающих для указанных связей уточняющих наборов переменных: .

Определение 5. Расстояние между структурными описаниями будем вычислять по следующей формуле:

)=+-2

Теорема 1. Пусть заданы два структурных описания и соответственно заданы представляющие их матрицы . Тогда выполняется равенство ) =.

Расстояние между сложными объектами, вычисленное по приведенной выше формуле, как нетрудно заметить, зависит от численностей классов разбиения и. Но эти классы содержат не только набор характеристик, но и информацию о принадлежности совокупности значений этих характеристик некоторому подмножеству в признаковом пространстве. Что позволяет перейти к исследованию структуры объектов с точки зрения распределений соответствующих группировок.

1. Куперштох В.Л., Трофимов В.А. Алгоритм анализа структуры матрицы.// Автоматика и телемеханика, 1975,№ 11, с.170-180.
2. Лбов Г.С. Логические решающие функции.-Новосибирск,1998.
3. Классификация и кластер. -М:Финансы и статистика, 1988.
4. Жамбю М. Иерархический кластер-анализ и соответствия. –М.: Финансы и статистика, 1988.